在数学分析中，二重积分是一个重要的概念，它用于计算二维空间中的面积、体积以及某些物理量（如质量、重心等）。为了更好地理解和掌握这一知识点，以下是一些精选的练习题供读者参考。

练习题一

设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，求该函数在区域 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\} \) 上的二重积分。

解法提示：

1. 将二重积分分解为两次单变量积分。

2. 按照顺序依次计算内积分和外积分。

练习题二

计算函数 \( g(x, y) = e^{xy} \) 在区域 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 3\} \) 上的二重积分。

解法提示：

1. 注意到指数函数的特性，可以尝试使用换元法简化计算。

2. 如果直接积分困难，考虑分部积分法。

练习题三

已知函数 \( h(x, y) = \sin(xy) \)，求其在区域 \( D = \{(x, y) | -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\} \) 上的二重积分。

解法提示：

1. 利用对称性减少计算量。

2. 分析函数的奇偶性，判断是否可以通过积分性质简化问题。

练习题四

设 \( k(x, y) = \frac{1}{1+x^2+y^2} \)，计算其在区域 \( D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 4\} \) 上的二重积分。

解法提示：

1. 转换为极坐标系进行计算。

2. 极坐标变换公式：\( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \)，并注意 Jacobian 表达式。

通过以上几道题目，我们可以看到二重积分的应用范围非常广泛。无论是简单的多项式函数还是复杂的指数或三角函数，都需要根据具体情况选择合适的计算方法。希望这些练习能够帮助大家加深对二重积分的理解，并提高实际操作能力。

最后提醒一点，在解决具体问题时，务必仔细审题，明确积分区域和被积函数的形式，这样才能确保结果的准确性。