在概率论中，全概率公式是一种非常重要的工具，它帮助我们计算复杂事件的概率。这个公式的核心思想是将一个复杂的事件分解成若干个互斥且完备的小事件，并通过这些小事件的概率来推导出原事件的概率。

假设我们有一个样本空间S，其中包含多个可能的结果。现在我们要计算某个事件A发生的概率P(A)。如果存在一组互斥且完备的事件B1, B2, ..., Bn（即它们的并集覆盖了整个样本空间，并且任意两个事件都不可能同时发生），那么根据全概率公式，我们可以写出：

\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) \]

这里，\( P(A|B_i) \) 表示在事件Bi已经发生的条件下，事件A发生的条件概率；而 \( P(B_i) \) 则是事件Bi本身的概率。

举个简单的例子来说明如何应用全概率公式。假设有两家工厂生产同一种产品，甲厂和乙厂分别占市场供应量的60%和40%。已知甲厂产品的次品率为5%，而乙厂为3%。如果我们随机从市场上购买一件该产品并发现它是次品，请问这件次品来自甲厂的概率是多少？

首先定义事件：

- A: 购买到的产品是次品；

- B1: 产品来自甲厂；

- B2: 产品来自乙厂。

我们需要求的是 \( P(B1|A) \)，即在买到次品的情况下，该次品来自甲厂的概率。根据贝叶斯定理以及全概率公式，可以先计算总的次品率 \( P(A) \)：

\[ P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) \]

\[ = 0.05 \times 0.6 + 0.03 \times 0.4 \]

\[ = 0.03 + 0.012 \]

\[ = 0.042 \]

然后利用贝叶斯公式得到 \( P(B1|A) \)：

\[ P(B1|A) = \frac{P(A|B1)P(B1)}{P(A)} \]

\[ = \frac{0.05 \times 0.6}{0.042} \]

\[ = \frac{0.03}{0.042} \]

\[ ≈ 0.714 \]

因此，在买到次品的情况下，这件次品有大约71.4%的可能性来自甲厂。

全概率公式不仅适用于解决实际问题中的概率计算，也是理解更高级别的概率理论如贝叶斯统计的基础之一。掌握好这一工具对于深入学习概率论及其应用领域至关重要。