概率论与数理统计是现代数学的重要分支，也是许多学科的基础工具。它不仅在理论研究中占据重要地位，还在实际应用中发挥着不可替代的作用。无论是经济学、金融学、工程学还是医学等领域，都离不开概率论与数理统计的支持。本文将通过一道经典题目及其详细解答，帮助读者更好地理解这一学科的核心概念。
题目：
设随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(μ, σ^2) $，其中均值 $ μ = 5 $，方差 $ σ^2 = 4 $。求以下问题的概率：
1. $ P(X > 7) $
2. $ P(3 < X < 7) $
解答：
第一步：标准化随机变量
由于 $ X \sim N(μ, σ^2) $，我们可以通过标准化公式将其转化为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $：
$$
Z = \frac{X - μ}{σ}
$$
已知 $ μ = 5 $，$ σ = \sqrt{4} = 2 $。因此，标准化后的公式为：
$$
Z = \frac{X - 5}{2}
$$
第二步：计算 $ P(X > 7) $
根据题目要求，我们需要计算 $ P(X > 7) $。首先将其转化为标准正态分布的概率：
$$
P(X > 7) = P\left(Z > \frac{7 - 5}{2}\right) = P(Z > 1)
$$
查标准正态分布表或使用计算器可得：
$$
P(Z > 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
$$
因此：
$$
P(X > 7) = 0.1587
$$
第三步：计算 $ P(3 < X < 7) $
同样地，我们将区间 $ (3, 7) $ 转化为标准正态分布的概率：
$$
P(3 < X < 7) = P\left(\frac{3 - 5}{2} < Z < \frac{7 - 5}{2}\right) = P(-1 < Z < 1)
$$
利用标准正态分布表，我们可以得到：
$$
P(-1 < Z < 1) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1)
$$
由于正态分布是对称的，有 $ P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1) $。因此：
$$
P(-1 < Z < 1) = P(Z \leq 1) - (1 - P(Z \leq 1)) = 2P(Z \leq 1) - 1
$$
代入 $ P(Z \leq 1) = 0.8413 $：
$$
P(-1 < Z < 1) = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826
$$
因此：
$$
P(3 < X < 7) = 0.6826
$$
总结：
通过以上计算，我们得到了以下结果：
1. $ P(X > 7) = 0.1587 $
2. $ P(3 < X < 7) = 0.6826 $
这道题目展示了如何利用正态分布的性质解决实际问题，同时也体现了标准化方法在概率计算中的重要作用。希望本题的解析能够帮助大家更深入地理解概率论与数理统计的基本原理！
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注：本文内容仅为示例分析，具体数值可能因计算工具不同而略有差异。
