在数学中，函数的定义域是指使得函数有意义的所有自变量的取值范围。正确地确定函数的定义域是解决数学问题的重要步骤之一。本文将通过几个具体的例子来说明如何求解不同类型的函数定义域。

一、代数函数

对于代数函数（如多项式、分式函数等），我们需要关注的是分母是否为零以及根号下的表达式是否非负。

例1：分式函数

假设我们有函数 \( f(x) = \frac{1}{x-3} \)，要找出其定义域，需要确保分母不为零。因此，令 \( x-3 \neq 0 \)，解得 \( x \neq 3 \)。所以，该函数的定义域为所有实数，除了 \( x=3 \)。

例2：根号函数

对于函数 \( g(x) = \sqrt{x+5} \)，根号内的表达式必须非负，即 \( x+5 \geq 0 \)。解得 \( x \geq -5 \)。因此，该函数的定义域为 \( x \in [-5, +\infty) \)。

二、对数函数

对数函数 \( \log_a(x) \) 的定义域要求底数 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)，同时对数的真数 \( x > 0 \)。

例3：对数函数

考虑函数 \( h(x) = \log_2(x-1) \)，为了使对数有意义，需满足 \( x-1 > 0 \)，即 \( x > 1 \)。因此，该函数的定义域为 \( x \in (1, +\infty) \)。

三、三角函数

三角函数的定义域通常取决于具体的形式和上下文，但大多数基本三角函数（如正弦、余弦）在其自然定义域内都是连续且无限制的。

例4：正弦函数

例如，函数 \( j(x) = \sin(x) \) 没有任何特殊的限制条件，因此其定义域为全体实数 \( x \in (-\infty, +\infty) \)。

四、复合函数

当处理复合函数时，需要从外向内逐步分析每个部分的定义域。

例5：复合函数

设 \( k(x) = \sqrt{\log_2(x)} \)，首先考虑对数部分 \( \log_2(x) \geq 0 \)，解得 \( x \geq 1 \)。然后检查根号部分，显然 \( x \geq 1 \) 已经保证了根号下非负。因此，该函数的定义域为 \( x \in [1, +\infty) \)。

总结

求解函数定义域的关键在于理解每种函数类型的具体约束条件，并逐一排除不符合条件的情况。通过上述例子可以看出，无论是简单的代数运算还是复杂的复合函数，只要遵循正确的步骤，都能准确找到函数的定义域。希望这些方法能够帮助你在遇到类似问题时更加从容应对！