在数学分析中，泰勒展开是一种非常重要的工具，它能够将复杂的函数表示为幂级数的形式，从而简化计算和分析过程。以下是常用的十个泰勒展开公式：
1. 指数函数 \( e^x \):
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\]
2. 正弦函数 \( \sin(x) \):
\[
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\]
3. 余弦函数 \( \cos(x) \):
\[
\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\]
4. 自然对数函数 \( \ln(1+x) \) (当 \( |x| < 1 \)):
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}
\]
5. 幂函数 \( (1+x)^a \) (二项式展开，当 \( |x| < 1 \)):
\[
(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots
\]
6. 反正切函数 \( \arctan(x) \) (当 \( |x| \leq 1 \)):
\[
\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\]
7. 反双曲正弦函数 \( \text{arsinh}(x) \):
\[
\text{arsinh}(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \frac{5x^7}{112} + \cdots
\]
8. 反双曲余弦函数 \( \text{arcosh}(x) \) (当 \( x > 1 \)):
\[
\text{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})
\]
9. 反双曲正切函数 \( \text{artanh}(x) \) (当 \( |x| < 1 \)):
\[
\text{artanh}(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
\]
10. 高斯误差函数 \( \text{erf}(x) \):
\[
\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots \right)
\]
这些公式在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
