在数学和物理学中，旋转矩阵是一个非常重要的概念，它用于描述物体在三维空间中的旋转运动。旋转矩阵能够将一个向量从一个坐标系变换到另一个经过旋转后的坐标系。以下是一些常见的旋转矩阵公式。
1. 绕X轴旋转的矩阵
绕X轴旋转角度θ的旋转矩阵为：
\[
R_x(\theta) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\]
2. 绕Y轴旋转的矩阵
绕Y轴旋转角度θ的旋转矩阵为：
\[
R_y(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{bmatrix}
\]
3. 绕Z轴旋转的矩阵
绕Z轴旋转角度θ的旋转矩阵为：
\[
R_z(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
4. 欧拉角旋转矩阵
欧拉角是一种常用的描述物体旋转的方式，通常使用三个角度（α, β, γ）来表示绕不同轴的旋转。对于Z-Y-X顺序的欧拉角旋转，其旋转矩阵为：
\[
R = R_z(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_x(\gamma)
\]
其中，每个旋转矩阵如上所述。
5. 一般形式的旋转矩阵
对于任意方向的旋转，可以用单位向量 \(\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)\) 和旋转角度θ来表示旋转矩阵。这个旋转矩阵可以写成如下形式：
\[
R = I + \sin\theta[\mathbf{n}]_\times + (1-\cos\theta)[\mathbf{n}]_\times^2
\]
其中，\(I\) 是单位矩阵，\([\mathbf{n}]_\times\) 是向量 \(\mathbf{n}\) 的叉积矩阵，定义为：
\[
[\mathbf{n}]_\times =
\begin{bmatrix}
0 & -n_z & n_y \\
n_z & 0 & -n_x \\
-n_y & n_x & 0
\end{bmatrix}
\]
这些公式在计算机图形学、机器人学以及航空航天等领域有着广泛的应用。理解和掌握这些基本的旋转矩阵公式对于处理三维空间中的旋转问题至关重要。
