数学归纳法是一种重要的数学证明方法，尤其在处理与自然数相关的命题时非常有效。它通过两个步骤来完成证明：基础步骤和归纳步骤。下面我们通过几个典型的例题来详细讲解这一方法。
例题 1：求证等差数列前 n 项和公式
已知等差数列的首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)，其前 \(n\) 项和为：
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]
\]
证明：
1. 基础步骤
当 \(n=1\) 时，数列只有一项，即 \(S_1 = a_1\)。代入公式：
\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot [2a_1 + (1-1)d] = a_1
\]
等式成立。
2. 归纳步骤
假设当 \(n=k\) 时公式成立，即：
\[
S_k = \frac{k}{2} \cdot [2a_1 + (k-1)d]
\]
我们需要证明当 \(n=k+1\) 时公式也成立。
根据定义，\(S_{k+1} = S_k + a_{k+1}\)，其中 \(a_{k+1} = a_1 + kd\)（由等差数列通项公式得）。因此：
\[
S_{k+1} = \frac{k}{2} \cdot [2a_1 + (k-1)d] + a_1 + kd
\]
化简后得到：
\[
S_{k+1} = \frac{k+1}{2} \cdot [2a_1 + kd]
\]
这与公式一致，因此假设成立。
综上所述，等差数列前 \(n\) 项和公式对所有正整数 \(n\) 都成立。
例题 2：证明 \(1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2\)
证明：
1. 基础步骤
当 \(n=1\) 时，左边为 \(1^3 = 1\)，右边为 \(\left( \frac{1(1+1)}{2} \right)^2 = 1\)。两边相等，公式成立。
2. 归纳步骤
假设当 \(n=k\) 时公式成立，即：
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2
\]
我们需要证明当 \(n=k+1\) 时公式也成立。
左边增加一项 \((k+1)^3\)，即：
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3
\]
化简右边：
\[
\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2}{4} \cdot (k^2 + 2k + 1)
\]
展开后可验证等于 \(\left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2\)，即公式成立。
综上所述，该公式对所有正整数 \(n\) 都成立。
例题 3：证明 \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
证明：
1. 基础步骤
当 \(n=1\) 时，左边为 \(1 \cdot 2 = 2\)，右边为 \(\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2\)。两边相等，公式成立。
2. 归纳步骤
假设当 \(n=k\) 时公式成立，即：
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}
\]
我们需要证明当 \(n=k+1\) 时公式也成立。
左边增加一项 \((k+1)(k+2)\)，即：
\[
1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)
\]
化简右边：
\[
\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}
\]
即公式成立。
综上所述，该公式对所有正整数 \(n\) 都成立。
以上三个例题展示了数学归纳法的基本应用。通过严格的两步证明，我们可以验证许多涉及自然数的数学命题。希望这些例题能够帮助你更好地理解和掌握数学归纳法！
