在学习《概率论与数理统计》这门课程时，课后习题是巩固所学知识的重要环节。通过解答这些习题，我们能够更好地理解概率论和数理统计的基本概念、理论以及实际应用。本文将针对一些常见的课后习题提供详细的解答过程，帮助大家加深对这门学科的理解。

首先，让我们来看一个关于随机变量及其分布的问题。假设有一个离散型随机变量X，其可能取值为{1, 2, 3}，对应的概率分别为P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.5，P(X=3)=0.3。我们需要计算该随机变量的期望值E(X)。

根据期望值的定义，我们有：

\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) \]

代入具体数值：

\[ E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1 \]

接下来考虑连续型随机变量的情况。假设Y是一个服从正态分布N(μ, σ²)的随机变量，其中均值μ=5，方差σ²=4。求解Y落在区间[3,7]内的概率。

对于正态分布，我们可以使用标准正态分布表进行查找。首先需要标准化Y：

\[ Z = \frac{Y - μ}{σ} \]

因此，

\[ Z_1 = \frac{3 - 5}{\sqrt{4}} = -1 \]

\[ Z_2 = \frac{7 - 5}{\sqrt{4}} = 1 \]

然后查标准正态分布表得到对应概率：

\[ P(-1 < Z < 1) = Φ(1) - Φ(-1) \]

利用对称性，Φ(-1) = 1 - Φ(1)，所以

\[ P(-1 < Z < 1) = Φ(1) - (1 - Φ(1)) = 2Φ(1) - 1 \]

继续探讨数理统计部分的内容，比如假设检验问题。设有一组样本数据来自总体N(μ, σ²)，已知σ²=9但μ未知。现在从该总体中抽取了n=25个样本，测得样本均值\(\bar{x}\)=10。试构造一个置信水平为95%的μ的置信区间。

由于总体方差已知且样本量较大，这里采用Z统计量。根据中心极限定理，样本均值近似服从正态分布N(μ, σ²/n)。置信区间的形式为：

\[ \bar{x} \pm z_{α/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

其中z_{α/2}是标准正态分布双侧尾部面积为α/2对应的临界值，在α=0.05下z_{0.025}=1.96。代入具体数值：

\[ 10 \pm 1.96 \cdot \frac{3}{\sqrt{25}} = 10 \pm 1.176 \]

最终得到置信区间为[8.824, 11.176]。

以上就是几个典型例子的解答过程。希望通过对这些问题的分析能帮助同学们更深入地掌握《概率论与数理统计》的核心知识点。当然，这只是冰山一角，更多复杂而有趣的题目还有待进一步探索。希望大家能够在实践中不断积累经验，提高解决问题的能力！