在高中数学中，概率是研究随机事件发生可能性的重要工具，广泛应用于实际生活和科学研究中。掌握常见的概率公式，不仅有助于解题，还能提升逻辑思维能力。本文将系统整理高中阶段常用的概率公式，帮助学生更好地理解和应用。
一、基本概念
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
2. 必然事件：一定会发生的事件，概率为1。
3. 不可能事件：一定不会发生的事件，概率为0。
4. 样本空间：所有可能结果的集合，记作 $ S $。
5. 事件：样本空间的一个子集，记作 $ A, B, C $ 等。
二、概率的基本性质
1. 非负性：对于任意事件 $ A $，有 $ P(A) \geq 0 $。
2. 规范性：$ P(S) = 1 $。
3. 可加性：若 $ A $ 与 $ B $ 互斥（即 $ A \cap B = \emptyset $），则：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$
三、古典概型
在古典概型中，所有基本事件出现的可能性相等。
设样本空间包含 $ n $ 个基本事件，事件 $ A $ 包含 $ m $ 个基本事件，则：
$$
P(A) = \frac{m}{n}
$$
四、互斥事件与对立事件
1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，即 $ A \cap B = \emptyset $，则：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
$$
2. 对立事件：事件 $ A $ 与其补集 $ \overline{A} $ 是对立事件，满足：
$$
P(A) + P(\overline{A}) = 1
$$
五、独立事件
若事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立，则一个事件的发生不影响另一个事件的发生，满足：
$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
$$
六、条件概率
设事件 $ A $ 和 $ B $ 都可能发生，且 $ P(B) > 0 $，则在事件 $ B $ 发生的前提下，事件 $ A $ 发生的概率为：
$$
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
七、全概率公式
若事件 $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ 是样本空间的一个划分（即两两互斥，且并集为整个样本空间），则对任意事件 $ A $，有：
$$
P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)
$$
八、贝叶斯公式
用于计算在已知某结果发生的前提下，导致该结果的某个原因的概率。设 $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ 是样本空间的一个划分，且 $ P(B_i) > 0 $，则：
$$
P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}
$$
九、排列与组合
1. 排列数：从 $ n $ 个不同元素中取出 $ k $ 个进行排列，有：
$$
A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}
$$
2. 组合数：从 $ n $ 个不同元素中取出 $ k $ 个进行组合，有：
$$
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
十、二项分布
设某试验中事件 $ A $ 发生的概率为 $ p $，进行 $ n $ 次独立试验，事件 $ A $ 恰好发生 $ k $ 次的概率为：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中，$ X $ 服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布，记作 $ X \sim B(n, p) $。
十一、期望与方差
对于离散型随机变量 $ X $，其期望（均值）为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
方差为：
$$
D(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)
$$
结语
概率不仅是高中数学的重要内容，也是后续学习统计学、金融、人工智能等领域的基础。通过掌握上述公式，可以更高效地解决各类概率问题。建议同学们多做练习题，理解公式的应用场景，做到灵活运用。
希望这篇整理能帮助你在学习概率的过程中更加得心应手！
