在初中数学的学习过程中，二次根式的混合运算是一个重要的知识点，它不仅涉及基本的加减乘除运算，还包含了对根号内数的化简、合并同类项以及分母有理化等技巧。为了帮助学生更好地掌握这一部分内容，以下提供一些具有代表性的练习题，并附上详细的解题思路，便于理解和巩固。

一、基础运算题

1. 计算：

$ \sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{2} $

解析：

首先将各根式化简为最简形式：

$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $，$ \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $，

所以原式变为：

$ 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (2+3-1)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $

2. 计算：

$ \sqrt{50} - \sqrt{98} + \sqrt{72} $

解析：

化简各项：

$ \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $，$ \sqrt{98} = 7\sqrt{2} $，$ \sqrt{72} = 6\sqrt{2} $，

所以原式为：

$ 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (5 - 7 + 6)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $

二、乘除与混合运算

3. 计算：

$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} \times \sqrt{6} $

解析：

先化简分母：

$ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $，所以原式变为：

$ \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{6} = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} $

4. 计算：

$ \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right) \times \left( \sqrt{2} - \sqrt{3} \right) $

解析：

这是一个平方差公式：

$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b $

所以结果为：

$ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 $

三、分母有理化

5. 将下列式子进行分母有理化：

$ \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} $

解析：

乘以共轭根式 $ \sqrt{5} - \sqrt{2} $：

$$

\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}

$$

分母计算为：

$ 5 - 2 = 3 $，所以最终结果为：

$ \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} - \sqrt{2} $

四、综合练习题

6. 计算：

$ \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^2 + \left( \sqrt{3} - \sqrt{2} \right)^2 $

解析：

展开两个平方项：

$ (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6} $

$ (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6} $

相加得：

$ (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10 $

通过以上练习题，可以系统地复习和巩固二次根式的各种运算方式。建议同学们在做题时注意步骤清晰、符号准确，并养成检查的习惯，以提高解题的正确率和效率。