在高中数学的学习过程中，必修四是一个重要的阶段，涵盖了三角函数、平面向量、三角恒等变换以及简单的三角函数应用等内容。掌握这些知识点和相关公式，对于后续的数学学习具有重要意义。以下是对必修四中主要数学公式的整理与解析，帮助同学们更好地理解和记忆。
一、三角函数基本公式
1. 任意角的三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
2. 同角三角函数关系式
- sin²α + cos²α = 1
- tanα = sinα / cosα
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
3. 诱导公式
常见的诱导公式用于将任意角转化为锐角的三角函数值，例如：
- sin(π - α) = sinα
- cos(π - α) = -cosα
- sin(π + α) = -sinα
- cos(π + α) = -cosα
- sin(-α) = -sinα
- cos(-α) = cosα
二、三角函数的图像与性质
1. 正弦函数 y = sinx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 单调性：在区间 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 上单调递减
2. 余弦函数 y = cosx
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 单调性：在区间 [2kπ, π + 2kπ] 上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] 上单调递增
3. 正切函数 y = tanx
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ
- 值域：R
- 周期：π
- 单调性：在每个周期内单调递增
三、三角恒等变换公式
1. 和差角公式
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
- cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
2. 倍角公式
- sin2α = 2sinα cosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
3. 半角公式
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
四、向量的基本知识
1. 向量的定义与表示
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段或坐标表示。
2. 向量的加减法
- 向量加法满足交换律和结合律
- 向量减法可看作加上相反向量
3. 向量的数量积（点积）
设向量a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，则：
- a · b = x₁x₂ + y₁y₂
- 也等于 |a||b|cosθ（θ为两向量夹角）
4. 向量的模长
|a| = √(x₁² + y₁²)
5. 向量的共线与垂直条件
- 若a = λb，则a与b共线
- 若a · b = 0，则a与b垂直
五、三角函数的应用
1. 解三角形
利用正弦定理和余弦定理解决实际问题：
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC
- 余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC
2. 三角函数模型的应用
如简谐运动、波动现象等，常通过三角函数来建模和分析。
六、总结
必修四的数学内容虽然看似繁杂，但只要掌握了基本公式、图像性质以及常见变换方法，就能在考试和实际问题中灵活运用。建议同学们在学习过程中注重理解公式的推导过程，多做练习题，加深对知识点的掌握。
希望这篇整理能帮助大家更好地复习和巩固必修四的数学知识，提升数学成绩！
