在学习计算物理学的过程中，习题练习是巩固知识、提升理解能力的重要环节。通过解决实际问题，学生不仅能够掌握基本的数值方法和算法思想，还能培养科学思维与编程实践能力。本文将围绕一些典型的计算物理学习题进行分析与解答，旨在帮助读者更好地理解和应用所学内容。
一、数值积分问题
题目： 使用梯形法则近似计算函数 $ f(x) = \sin(x) $ 在区间 $[0, \pi]$ 上的定积分，取步长 $ h = \frac{\pi}{4} $。
解法：
梯形法则的基本公式为：
$$
\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]
$$
其中，$ h = \frac{b - a}{n} $，$ x_i = a + i \cdot h $。
本题中，$ a = 0 $，$ b = \pi $，$ h = \frac{\pi}{4} $，因此 $ n = 4 $。
计算各点函数值：
- $ f(0) = \sin(0) = 0 $
- $ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 $
- $ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- $ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 $
- $ f(\pi) = \sin(\pi) = 0 $
代入公式：
$$
\int_0^\pi \sin(x) \, dx \approx \frac{\pi}{8} \left[ 0 + 2(0.7071 + 1 + 0.7071) + 0 \right] = \frac{\pi}{8} \times 5.4284 \approx 2.1213
$$
而精确值为 $ 2 $，误差约为 $ 0.1213 $，说明梯形法则在此处具有一定的精度。
二、常微分方程的数值解法
题目： 求解初值问题 $ y' = y $，$ y(0) = 1 $，在区间 $ [0, 1] $ 上的数值解，使用欧拉方法，步长 $ h = 0.2 $。
解法：
欧拉方法的迭代公式为：
$$
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
$$
其中，$ f(t, y) = y $，初始条件为 $ y_0 = 1 $，步长 $ h = 0.2 $。
计算步骤如下：
- $ t_0 = 0 $, $ y_0 = 1 $
- $ t_1 = 0.2 $, $ y_1 = 1 + 0.2 \cdot 1 = 1.2 $
- $ t_2 = 0.4 $, $ y_2 = 1.2 + 0.2 \cdot 1.2 = 1.44 $
- $ t_3 = 0.6 $, $ y_3 = 1.44 + 0.2 \cdot 1.44 = 1.728 $
- $ t_4 = 0.8 $, $ y_4 = 1.728 + 0.2 \cdot 1.728 = 2.0736 $
- $ t_5 = 1.0 $, $ y_5 = 2.0736 + 0.2 \cdot 2.0736 = 2.48832 $
理论解为 $ y(t) = e^t $，在 $ t = 1 $ 处为 $ e \approx 2.71828 $，欧拉方法的结果为 $ 2.48832 $，误差约为 $ 0.23 $，说明随着步长增大，误差也相应增加。
三、线性方程组求解
题目： 解线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + 2y + 3z = 6 \\
2x + 5y + 5z = 15 \\
3x + 5y + 8z = 22
\end{cases}
$$
解法：
使用高斯消元法进行求解。
1. 将方程写成增广矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 6 \\
2 & 5 & 5 & | & 15 \\
3 & 5 & 8 & | & 22
\end{bmatrix}
$$
2. 第一步消去第二行和第三行的第一个元素：
- 第二行：$ R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1 $
- 第三行：$ R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1 $
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 6 \\
0 & 1 & -1 & | & 3 \\
0 & -1 & -1 & | & 4
\end{bmatrix}
$$
3. 消去第三行第二个元素：
- 第三行：$ R_3 \rightarrow R_3 + R_2 $
得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 6 \\
0 & 1 & -1 & | & 3 \\
0 & 0 & -2 & | & 7
\end{bmatrix}
$$
4. 回代求解：
- $ -2z = 7 \Rightarrow z = -3.5 $
- $ y - z = 3 \Rightarrow y = 3 + (-3.5) = -0.5 $
- $ x + 2y + 3z = 6 \Rightarrow x + 2(-0.5) + 3(-3.5) = 6 \Rightarrow x = 6 + 1 + 10.5 = 17.5 $
最终解为 $ x = 17.5 $, $ y = -0.5 $, $ z = -3.5 $。
结语
通过上述几个典型例题的分析与解答，可以看出计算物理的学习不仅仅是理论上的推导，更需要结合数值方法和编程实现来处理实际问题。希望这些内容能对学习计算物理的学生有所帮助，同时也鼓励大家多动手、多思考，在实践中不断提升自己的计算能力。
