【傅里叶变换所有公式】傅里叶变换是信号处理、物理学、工程学等多个领域中非常重要的数学工具。它能够将一个时间域的信号转换为频率域的表示，从而帮助我们更深入地理解信号的组成和特性。以下是傅里叶变换相关的各种公式总结。
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。根据不同的应用场景，傅里叶变换可以分为：
- 连续傅里叶变换（CFT）
- 离散傅里叶变换（DFT）
- 快速傅里叶变换（FFT）
- 傅里叶级数（FS）
- 拉普拉斯变换（LT）
- Z变换（ZT）
下面对这些变换进行系统的公式总结。
二、主要傅里叶变换公式汇总
| 变换类型 | 公式 | 说明 |
| 傅里叶级数（FS） | $ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t} $ $ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-j n \omega_0 t} dt $ | 适用于周期信号，展开为复指数形式 |
| 连续傅里叶变换（CFT） | $ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} dt $ $ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d\omega $ | 适用于非周期连续信号 |
| 离散傅里叶变换（DFT） | $ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} kn} $ $ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j \frac{2\pi}{N} kn} $ | 适用于离散有限长度信号 |
| 快速傅里叶变换（FFT） | 采用分治法优化DFT计算，复杂度从 $ O(N^2) $ 降至 $ O(N \log N) $ | 是DFT的高效算法实现 |
| 拉普拉斯变换（LT） | $ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $ | 适用于单边信号，扩展了傅里叶变换到复频域 |
| Z变换（ZT） | $ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} $ | 适用于离散时间信号，与拉普拉斯变换对应 |
三、常见函数的傅里叶变换表
以下是一些常见函数的傅里叶变换及其逆变换：
| 函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) $ | 逆变换 $ f(t) $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d\omega $ |
| $ e^{j \omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d\omega $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) e^{j \omega t} d\omega $ |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}\left( \frac{\omega}{2\pi} \right) $ | $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \text{rect}\left( \frac{\omega}{2\pi} \right) e^{j \omega t} d\omega $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \omega t} d\omega $ |
四、傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有许多重要的性质，包括但不限于：
| 性质 | 公式 |
| 线性性 | $ \mathcal{F}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(\omega) + b G(\omega) $ |
| 时移性 | $ \mathcal{F}\{f(t - t_0)\} = e^{-j \omega t_0} F(\omega) $ |
| 频移性 | $ \mathcal{F}\{e^{j \omega_0 t} f(t)\} = F(\omega - \omega_0) $ |
| 对称性 | 若 $ f(t) $ 实偶，则 $ F(\omega) $ 为实偶；若 $ f(t) $ 实奇，则 $ F(\omega) $ 为虚奇 |
| 卷积定理 | $ \mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = F(\omega) G(\omega) $ |
| 相乘定理 | $ \mathcal{F}\{f(t) g(t)\} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) G(\omega) $ |
五、小结
傅里叶变换是分析信号频率特性的强大工具，涵盖了从连续到离散、从时域到频域的各种形式。掌握其基本公式和性质，有助于在实际应用中更好地理解和处理信号问题。
如需进一步了解某种变换的具体应用或推导过程，可继续查阅相关资料或参考专业教材。
以上就是【傅里叶变换所有公式】相关内容，希望对您有所帮助。
