【期望方差公式总结】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均值或中心位置，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式对于理解概率分布、进行数据分析和统计推断具有重要意义。
以下是对常见概率分布的期望与方差公式的总结，便于查阅与学习。
一、离散型随机变量
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} $ |
二、连续型随机变量
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 卡方分布 | $ f(x) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2} $ | $ k $ | $ 2k $ |
三、其他重要公式
1. 期望的线性性质
$ E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c $
2. 方差的计算公式
$ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
3. 协方差与相关系数
- 协方差：$ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $
- 相关系数：$ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} $
4. 方差的线性变换
$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $
四、小结
期望和方差是分析随机变量行为的基础工具。通过掌握不同分布的期望与方差公式，可以更高效地进行统计建模、风险评估和数据预测。同时，理解期望与方差之间的关系，有助于更深入地分析数据的集中趋势与离散程度。
在实际应用中，应根据具体问题选择合适的分布模型，并结合实际数据进行参数估计与假设检验，以提高分析的准确性和可靠性。
以上就是【期望方差公式总结】相关内容，希望对您有所帮助。
