【三角函数通用公式】在数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握三角函数的通用公式，有助于快速解决相关问题，提高解题效率。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本公式
1. 定义式
在直角三角形中，设角θ为锐角，则：
- sinθ = 对边 / 斜边
- cosθ = 邻边 / 斜边
- tanθ = 对边 / 邻边
- cotθ = 邻边 / 对边
- secθ = 斜边 / 邻边
- cscθ = 斜边 / 对边
2. 单位圆定义
在单位圆上，sinθ 和 cosθ 分别表示点的 y 坐标和 x 坐标。
二、诱导公式（角度转换）
| 角度 | 公式 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| tan(π/2 - θ) | cotθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
三、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
六、积化和差与和差化积公式
| 类型 | 公式 |
| 积化和差 | sinAcosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2 cosAsinB = [sin(A+B) - sin(A-B)]/2 cosAcosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2 sinAsinB = -[cos(A+B) - cos(A-B)]/2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
七、常用特殊角值表
| 角度（°） | 弧度 | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90 | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
总结
三角函数的通用公式是解决三角问题的基础工具，掌握这些公式不仅有助于理解三角函数的性质，还能提高解题效率。通过表格形式整理，可以更清晰地看到不同公式之间的关系，方便记忆和应用。建议结合实际题目进行练习，加深对公式的理解和运用能力。
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