【等差数列求和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。等差数列的求和公式是解决这类问题的重要工具，能够快速计算出数列中所有项的总和。
一、等差数列的基本概念
等差数列是由若干个数按一定顺序排列而成的数列，其中任意两个相邻项的差相等。这个差称为“公差”，记作 $ d $。首项为 $ a_1 $，末项为 $ a_n $，项数为 $ n $。
例如：
数列 $ 2, 5, 8, 11, 14 $ 是一个等差数列，首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，项数 $ n = 5 $。
二、等差数列求和公式
等差数列的求和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ n $ 是项数。
此外，也可以使用另一种表达方式：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这是通过将末项 $ a_n $ 用首项和公差表示出来的结果，即：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
三、公式应用举例
下面通过几个例子来展示如何使用等差数列求和公式。
| 项目 | 数值 |
| 首项 $ a_1 $ | 3 |
| 公差 $ d $ | 2 |
| 项数 $ n $ | 6 |
| 末项 $ a_n $ | $ 3 + (6 - 1) \times 2 = 13 $ |
| 求和 $ S_n $ | $ \frac{6}{2} \times (3 + 13) = 3 \times 16 = 48 $ |
另一个例子：
| 项目 | 数值 |
| 首项 $ a_1 $ | 10 |
| 公差 $ d $ | 5 |
| 项数 $ n $ | 4 |
| 末项 $ a_n $ | $ 10 + (4 - 1) \times 5 = 25 $ |
| 求和 $ S_n $ | $ \frac{4}{2} \times (10 + 25) = 2 \times 35 = 70 $ |
四、总结
等差数列求和公式是解决等差数列求和问题的核心工具。掌握这两个公式（以首项和末项表示，或以首项和公差表示）可以帮助我们快速准确地计算数列的总和。在实际应用中，可以根据已知条件选择合适的公式进行计算。
| 公式名称 | 公式表达 | 适用情况 |
| 基本求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 已知首项和末项 |
| 另一种求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 已知首项和公差 |
通过灵活运用这些公式，可以高效地解决各类等差数列相关的数学问题。
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