【数列累乘例题】在数列的学习中，累乘法是一种重要的解题方法，尤其适用于某些具有特定规律的数列。通过观察数列中各项之间的乘积关系，可以找到通项公式或求出某一项的值。以下是一些典型的数列累乘例题及其解答过程。
一、例题解析
例题1：
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，且 $a_{n+1} = a_n \cdot (n + 1)$，求 $a_5$ 的值。
分析：
这是一个递推形式的数列，每一项都是前一项乘以一个递增的整数。我们可以直接进行累乘计算。
解：
$$
\begin{align}
a_1 &= 2 \\
a_2 &= a_1 \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4 \\
a_3 &= a_2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \\
a_4 &= a_3 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \\
a_5 &= a_4 \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240 \\
\end{align}
$$
答案： $a_5 = 240$
例题2：
已知数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1 = 1$，且 $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{n+1}{n}$，求 $b_6$ 的值。
分析：
这个数列的递推关系是前一项乘以一个分数，可以尝试展开看看是否能简化为累乘形式。
解：
$$
\begin{align}
b_1 &= 1 \\
b_2 &= b_1 \cdot \frac{2}{1} = 1 \cdot 2 = 2 \\
b_3 &= b_2 \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \\
b_4 &= b_3 \cdot \frac{4}{3} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \\
b_5 &= b_4 \cdot \frac{5}{4} = 4 \cdot \frac{5}{4} = 5 \\
b_6 &= b_5 \cdot \frac{6}{5} = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6 \\
\end{align}
$$
答案： $b_6 = 6$
二、总结与表格展示
| 题号 | 数列定义 | 通项公式（可选） | 第5项 | 第6项 |
| 1 | $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n \cdot (n + 1)$ | $a_n = 2 \cdot n!$ | 240 | - |
| 2 | $b_1 = 1$, $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{n+1}{n}$ | $b_n = n$ | - | 6 |
三、小结
通过以上两个例子可以看出，累乘法在处理具有乘积关系的数列时非常有效。关键在于识别递推关系中的乘法规律，并逐步展开或归纳出通项公式。对于复杂的数列，也可以借助数学归纳法或阶乘等概念来简化计算过程。
掌握好累乘法，有助于提高对数列变化规律的理解和解题效率。
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