【数学期望的公式是什么】数学期望是概率论与统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中平均取值的大小。它反映了随机变量的“中心位置”，是进行风险评估、决策分析等的重要工具。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value）通常用 $ E(X) $ 表示，表示一个随机变量 $ X $ 在所有可能结果中按概率加权后的平均值。
1. 离散型随机变量的数学期望
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n) $，则数学期望的公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望的公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、数学期望的性质
- 线性性：$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
- 常数的期望：$ E(c) = c $，其中 $ c $ 是常数。
- 期望的非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $。
三、常见分布的数学期望
| 分布类型 | 数学期望公式 | 说明 |
| 伯努利分布 | $ p $ | 成功概率为 $ p $ |
| 二项分布 | $ np $ | 试验次数为 $ n $，成功概率 $ p $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | 参数为 $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ \frac{a + b}{2} $ | 区间 $ [a, b] $ 上均匀分布 |
| 正态分布 | $ \mu $ | 均值为 $ \mu $，标准差为 $ \sigma $ |
四、总结
数学期望是衡量随机变量平均水平的重要指标，适用于各种类型的随机变量。无论是离散型还是连续型，都可以通过相应的公式计算其期望值。掌握数学期望的计算方法和性质，有助于更好地理解和分析随机现象。
如需进一步了解数学期望在实际问题中的应用，可参考相关概率模型与统计分析的内容。
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