【数学微积分公式】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它主要研究函数的变化率和累积过程，包含微分学和积分学两大部分。本文将对常见的数学微积分公式进行总结，并以表格形式呈现，帮助读者快速查阅和理解。
一、微分公式
微分用于求函数的导数，表示函数在某一点的变化率。
| 公式 | 函数 | 导数 |
| 1 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 2 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 3 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 4 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 5 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 6 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 7 | $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分公式
积分用于计算函数在某一区间上的面积或累积值，分为不定积分和定积分。
（1）基本不定积分公式
| 公式 | 函数 | 不定积分 | ||
| 1 | $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| 4 | $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| 5 | $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| 6 | $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| 7 | $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
（2）定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
三、常见微积分技巧
1. 换元法（变量替换）
用于简化积分表达式，如：
$$
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
$$
2. 分部积分法
适用于乘积函数的积分，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
3. 三角代换
常用于含根号的积分，例如：
- $ \sqrt{a^2 - x^2} $ → 令 $ x = a \sin \theta $
- $ \sqrt{a^2 + x^2} $ → 令 $ x = a \tan \theta $
四、重要定理
1. 微积分基本定理
描述了微分与积分之间的关系，是整个微积分理论的核心。
2. 洛必达法则
用于求解不定型极限，如 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $。
3. 泰勒展开
将函数表示为无穷级数，常用于近似计算。
总结
微积分是现代科学和技术的重要工具，掌握其基本公式和方法有助于解决大量实际问题。本文通过总结常见的微分和积分公式，并结合表格形式展示，旨在为学习者提供清晰的参考。同时，建议结合实际例题练习，加深对公式的理解和应用能力。
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