【随机变量的期望与方差计算公式】在概率论与数理统计中，随机变量是描述随机现象结果的重要工具。为了更好地分析和理解随机变量的行为特征，我们通常关注其两个重要的数字特征：期望（均值） 和 方差。它们分别反映了随机变量的集中趋势和离散程度。
以下是对常见类型随机变量的期望与方差的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和对比。
一、期望（Expectation）
定义：
设 $ X $ 是一个随机变量，其取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
对于连续型随机变量，期望的计算方式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、方差（Variance）
定义：
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以通过以下公式计算：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差总结
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 0-1 分布 | $ P(X = 1) = p $, $ P(X = 0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、小结
- 期望反映的是随机变量的“平均值”或“中心位置”，是衡量数据集中趋势的重要指标。
- 方差反映的是随机变量的“波动性”或“离散程度”，用于评估数据的稳定性。
- 不同类型的随机变量具有不同的期望与方差表达式，掌握这些公式有助于我们在实际问题中进行概率建模与数据分析。
通过合理应用这些公式，可以更准确地预测事件发生的可能性以及其变化范围，为决策提供科学依据。
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