【可去间断点的定义】在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。当函数在某一点不连续时，我们称该点为“间断点”。根据间断点的性质不同，可以将其分为多种类型，其中“可去间断点”是较为常见的一种。它是指函数在某一点不连续，但可以通过重新定义该点的函数值使其连续。
一、可去间断点的定义
若函数 $ f(x) $ 在点 $ x = a $ 处不连续，但极限 $ \lim_{x \to a} f(x) $ 存在，且 $ f(a) $ 不存在或 $ f(a) \neq \lim_{x \to a} f(x) $，则称 $ x = a $ 为 可去间断点。
换句话说，如果一个函数在某一点处没有定义，或者虽然有定义但与极限值不一致，那么通过适当修改该点的函数值，就可以使函数在该点连续，这种间断点称为“可去间断点”。
二、可去间断点的特点总结
| 特点 | 描述 |
| 极限存在 | 函数在该点的左右极限都存在，并且相等 |
| 函数无定义或值不符 | 函数在该点可能未定义，或者定义的值不等于极限值 |
| 可修正 | 通过重新定义函数在该点的值，可以使函数在该点连续 |
| 属于第一类间断点 | 不属于无穷间断点或跳跃间断点，属于可修正的不连续情况 |
三、举例说明
例1：函数 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处
- 原函数在 $ x = 0 $ 处无定义；
- 但 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $；
- 因此，若定义 $ f(0) = 1 $，则函数在 $ x = 0 $ 处连续；
- 所以 $ x = 0 $ 是一个可去间断点。
例2：函数 $ f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \neq 1 \\
2, & x = 1
\end{cases} $
- 当 $ x \to 1 $ 时，$ \lim_{x \to 1} f(x) = 1 $；
- 但 $ f(1) = 2 $，与极限不一致；
- 若将 $ f(1) $ 改为 1，则函数在 $ x = 1 $ 处连续；
- 所以 $ x = 1 $ 是一个可去间断点。
四、小结
可去间断点是一种可以通过调整函数值来消除的不连续现象。它的核心在于函数在该点的极限存在，但函数值未被正确赋予或缺失。理解这一概念有助于更深入地掌握函数的连续性和极限理论，是微积分学习中的重要知识点之一。
