【正态分布相关公式】正态分布是统计学中最重要、最常用的概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程和金融等领域。它描述了大量随机变量的分布规律，具有对称性、集中性和可计算性的特点。本文将总结正态分布中常见的数学公式，并以表格形式清晰展示。
一、基本概念
正态分布（Normal Distribution）是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ \mu $ 是均值（期望值）
- $ \sigma $ 是标准差
- $ x $ 是随机变量
当 $ \mu = 0 $ 且 $ \sigma = 1 $ 时，称为标准正态分布，记作 $ N(0,1) $。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 概率密度函数 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 描述正态分布的概率密度 |
| 标准正态分布 | $ Z \sim N(0,1) $ | 均值为0，标准差为1的正态分布 |
| 标准化公式 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ | 将任意正态变量标准化为标准正态变量 |
| 累积分布函数 | $ P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $ | 计算累积概率 |
| 分位数公式 | $ x = \mu + z \cdot \sigma $ | 用于求给定概率下的分位点 |
| 方差公式 | $ \text{Var}(X) = \sigma^2 $ | 正态分布的方差等于标准差的平方 |
| 期望公式 | $ E(X) = \mu $ | 正态分布的期望等于均值 |
三、应用举例
在实际应用中，正态分布常用于：
- 假设检验（如t检验、Z检验）
- 区间估计（如置信区间）
- 数据建模与预测
- 质量控制（如六西格玛）
例如，在质量控制中，若某产品的尺寸服从正态分布 $ N(10, 0.5^2) $，则可以计算出95%的产品尺寸落在 $ 10 \pm 1.96 \times 0.5 $ 的范围内。
四、注意事项
1. 正态分布是对称的，因此左右尾部概率相等。
2. 实际数据不一定严格符合正态分布，需通过检验（如K-S检验、Q-Q图）确认。
3. 大样本下，中心极限定理保证了多数情况下数据近似服从正态分布。
五、结语
正态分布在统计学中具有基础而重要的地位，掌握其相关公式有助于理解和分析实际问题。通过合理使用这些公式，可以更准确地进行数据分析和决策判断。
附：常见正态分布数值表（部分）
| Z值 | 累积概率 $ \Phi(z) $ |
| 0 | 0.5 |
| 1.0 | 0.8413 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 2.58 | 0.9951 |
（注：以上数值基于标准正态分布表）
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