【导数的除法公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。除了常见的乘法法则和加减法则外，导数的除法法则同样具有重要的应用价值。该法则用于求两个可导函数相除后的导数，是解决实际问题时不可或缺的一部分。
一、导数的除法公式
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某一点 $ x $ 处可导，且 $ g(x) \neq 0 $，则它们的商 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数为：
$$
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
这个公式也被称为商法则（Quotient Rule）。
二、公式解析
- 分子部分：$ f'(x)g(x) - f(x)g'(x) $
表示分子部分的导数由两部分组成，第一项是分子导数与分母的乘积，第二项是分子与分母导数的乘积，并取差值。
- 分母部分：$ [g(x)]^2 $
表示分母的平方，确保分母不为零。
三、使用步骤
1. 确定被求导的函数是否为两个可导函数的商。
2. 分别求出分子函数和分母函数的导数。
3. 将导数代入商法则公式中。
4. 化简表达式，得到最终结果。
四、示例
假设 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = x + 1 $，求 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数。
1. 求导：
- $ f'(x) = 2x $
- $ g'(x) = 1 $
2. 应用公式：
$$
\left( \frac{x^2}{x+1} \right)' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2}
$$
3. 化简：
$$
= \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
$$
五、总结表
| 内容 | 说明 |
| 公式名称 | 商法则（导数的除法公式） |
| 公式表达 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 适用条件 | $ g(x) \neq 0 $，且 $ f(x) $、$ g(x) $ 可导 |
| 使用步骤 | 1. 分析函数结构；2. 求导；3. 代入公式；4. 化简 |
| 示例 | $ \frac{x^2}{x+1} $ 的导数为 $ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ |
通过掌握导数的除法公式，可以更高效地处理涉及分数形式的函数求导问题，尤其在物理、工程和经济学等领域有广泛应用。理解并熟练运用这一法则，有助于提升数学分析能力。
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