【等比数列前n项求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值恒定。这种数列在实际问题中有着广泛的应用，例如金融计算、几何问题以及科学计算等。为了更高效地计算等比数列的前n项之和，数学家们推导出了相应的求和公式。

一、等比数列的基本概念

等比数列是由若干个数按一定比例依次排列而成的数列。设首项为 $ a $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a \cdot r^{n-1}

$$

二、等比数列前n项求和公式

当公比 $ r \neq 1 $ 时，等比数列前 $ n $ 项的和 $ S_n $ 可以通过以下公式计算：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

若 $ r = 1 $，则数列中的所有项都相等，此时前 $ n $ 项和为：

$$

S_n = a \cdot n

$$

三、公式推导思路

等比数列前n项求和公式可以通过“错位相减法”进行推导。具体步骤如下：

1. 设等比数列前 $ n $ 项和为 $ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $

2. 将等式两边同时乘以公比 $ r $：

$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n $

3. 用原式减去新式：

$ S_n - rS_n = a - ar^n $

4. 整理得：

$ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) $

5. 最终得到：

$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $

四、常见应用场景

五、典型例题解析

六、注意事项

- 当公比 $ r = 1 $ 时，不能使用上述公式，应直接计算为 $ S_n = a \cdot n $

- 如果公比 $ r < 1 $，且 $ n \to \infty $，则无穷等比数列的和为 $ S = \frac{a}{1 - r} $

七、总结表

通过掌握等比数列前n项求和公式，我们可以更快速、准确地解决相关问题，提升数学思维与实际应用能力。

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