线性代数作为数学领域的重要分支之一，在计算机科学、工程学以及物理学等多个学科中都有着广泛的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握这门课程的核心知识点，本文将提供一份精心设计的线性代数期末试题，并附上详细的解答过程。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式的值为：
- A) -2
- B) 2
- C) 0
- D) 1
答案：A)
解析：根据行列式计算公式 $\det(A) = ad - bc$，其中 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$。因此，$\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$。
2. 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列说法正确的是：
- A) 向量组的秩为2
- B) 向量组的秩为3
- C) 向量组的秩小于3
- D) 向量组的秩不确定
答案：B)
解析：向量组线性无关意味着向量组的最大线性无关子集等于向量组本身的个数。因此，向量组的秩等于其元素个数，即3。
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则 $ B^{-1} = $ ________。
答案：$\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$
解析：对于对角矩阵，其逆矩阵的每个对角元取倒数即可。
2. 已知向量 $\mathbf{v} = [1, 2, 3]$ 和 $\mathbf{w} = [3, 2, 1]$，则它们的点积为 ________。
答案：8
解析：点积定义为对应分量相乘后求和，即 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3 + 4 + 1 = 8$。
三、计算题（每题10分，共40分）
1. 求解线性方程组：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 6 \\
2x - y + z = 3 \\
x + 3y - 2z = 1
\end{cases}
$$
答案：$(x, y, z) = (2, 1, 3)$
解析：利用高斯消元法，逐步化简增广矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
2 & -1 & 1 & | & 3 \\
1 & 3 & -2 & | & 1
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 6 \\
0 & -3 & -1 & | & -9 \\
0 & 2 & -3 & | & -5
\end{bmatrix}
$$
进一步化简得到唯一解 $(x, y, z) = (2, 1, 3)$。
2. 给定矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $，判断其是否可逆，并说明理由。
答案：不可逆
解析：计算行列式 $\det(C) = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0$。由于行列式为零，矩阵不可逆。
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明：若矩阵 $ A $ 是正交矩阵，则其转置等于其逆。
解析：
根据正交矩阵的定义，$ A^T A = I $。两边同时左乘 $ A^{-1} $，得到 $ A^{-1} A^T A = A^{-1} I $，即 $ A^T = A^{-1} $。
以上便是本次线性代数期末试题及其答案。希望这些题目能够帮助大家巩固基础知识，并在考试中取得优异的成绩！
