在数学分析中，二重积分是研究函数在一个平面区域上的累积效应的重要工具。它不仅广泛应用于物理学、工程学等领域，也是高等数学课程中的核心内容之一。本篇将通过一系列精选习题帮助读者巩固和深化对二重积分的理解。

习题一：基本概念应用

设函数 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，计算其在单位圆 \(x^2 + y^2 \leq 1\) 内的积分。

提示：利用极坐标变换可以简化计算过程。

习题二：对称性利用

考虑函数 \(g(x, y) = xy\) 在矩形区域 \([0, 2] \times [-1, 1]\) 上的积分。观察此区域及函数的对称性质，判断积分值是否为零，并给出详细推导。

习题三：分区域积分

给定分段定义的函数：

\[ h(x, y) =

\begin{cases}

x+y & \text{if } x+y > 0 \\

0 & \text{otherwise}

\end{cases} \]

求其在三角形区域 \(\{(x, y): x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 2\}\) 内的积分。

习题四：复杂边界处理

设函数 \(k(x, y) = e^{-(x^2+y^2)}\)，计算其在椭圆形区域 \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \leq 1\) 内的积分。尝试使用适当的变量替换来解决这一问题。

总结与反思

完成上述习题后，请回顾整个解题过程，思考如何选择合适的坐标系或方法以最有效地解决问题。此外，也可以进一步探索更多关于二重积分的应用实例，比如计算体积、质量等物理量。

以上习题旨在锻炼大家灵活运用二重积分知识的能力，希望大家能够从中获得启发并提高自己的解题技巧！