在高中阶段，数学作为一门核心学科，不仅承载着知识传授的任务，更是培养逻辑思维和解决问题能力的重要途径。对于刚进入高中的学生来说，适应新环境的同时，还需要面对更加复杂和抽象的数学问题。为了帮助同学们更好地掌握基础知识并提升解题技巧，本文精心挑选了一些具有代表性的高一数学题目，并对其进行了详细的解析。
一、函数与方程
题目1：
已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求其零点。
解析：
要找到函数的零点，即令 \( f(x) = 0 \)，得到方程：
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
通过因式分解可得：
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
因此，零点为 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2 = 3 \)。
题目2：
若关于 \( x \) 的二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个相等实根，试证明 \( b^2 - 4ac = 0 \)。
解析：
根据二次方程的判别式公式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)，当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等实根。假设方程有两个相等实根，则其根的形式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。将此结果代入原方程验证即可得出结论。
二、不等式
题目3：
解不等式 \( |2x - 5| < 7 \)。
解析：
绝对值不等式可以转化为两个部分讨论：
\[ -7 < 2x - 5 < 7 \]
分别解出两端的不等式：
\[ -7 + 5 < 2x < 7 + 5 \]
\[ -2 < 2x < 12 \]
两边同时除以 2：
\[ -1 < x < 6 \]
因此，解集为 \( (-1, 6) \)。
题目4：
若 \( x > 0 \)，且 \( x^2 - 3x + 2 \leq 0 \)，求 \( x \) 的取值范围。
解析：
首先分解因式：
\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \leq 0 \]
利用数轴法分析符号变化：
- 当 \( x \in (1, 2] \) 时，表达式的值小于等于零。
- 结合条件 \( x > 0 \)，最终解集为 \( [1, 2] \)。
三、几何与三角函数
题目5：
在直角三角形中，若一条直角边长为 3，斜边长为 5，求另一条直角边的长度。
解析：
根据勾股定理：
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
设未知直角边为 \( b \)，则有：
\[ 3^2 + b^2 = 5^2 \]
\[ 9 + b^2 = 25 \]
\[ b^2 = 16 \]
\[ b = 4 \]
因此，另一条直角边的长度为 4。
题目6：
计算 \( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \)。
解析：
根据特殊角的三角函数值：
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]
所以：
\[ \sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
以上题目涵盖了高一数学的主要知识点，旨在帮助学生巩固基础、拓展思维。希望同学们通过练习能够加深对数学的理解，逐步提高自己的成绩！
