在学习《运筹学》的过程中，线性规划是一个核心部分，而其中的对偶理论和灵敏度分析更是理解问题本质的重要工具。本章节通过一系列练习题帮助大家巩固相关知识点，并附上详细的解答过程。

练习题一：

考虑以下线性规划问题：

目标函数：Max Z = 3x1 + 4x2

约束条件：

- x1 + x2 ≤ 6

- 2x1 + x2 ≤ 8

- x1, x2 ≥ 0

请写出该问题的对偶问题。

解答：

根据对偶问题的定义，我们可以得到如下对偶问题：

目标函数：Min W = 6y1 + 8y2

约束条件：

- y1 + 2y2 ≥ 3

- y1 + y2 ≥ 4

- y1, y2 ≥ 0

练习题二：

对于上述线性规划问题，假设最优解为 x1=2, x2=4，请计算其对偶问题的最优值。

解答：

首先，我们需要验证原问题的最优解是否满足约束条件。将 x1=2 和 x2=4 代入原问题的约束条件：

1. 2 + 4 = 6 ≤ 6 （满足）

2. 2×2 + 4 = 8 ≤ 8 （满足）

因此，该解是可行的。接下来计算目标函数值：

Z = 3×2 + 4×4 = 6 + 16 = 22

由于原问题和对偶问题具有相同的最优值（弱对偶定理），所以对偶问题的最优值也为 22。

练习题三：

如果原问题的某个约束条件从 "≤" 改为 "="，如何调整对偶问题？

解答：

当原问题中的约束条件从 "≤" 改为 "=" 时，对应的对偶变量将不再受非负限制。也就是说，原本的对偶变量 yi ≥ 0 将变为自由变量，可以取任意实数值。

以上就是关于《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析的一些典型习题及其解答。通过这些练习，相信大家可以更好地掌握这一部分内容，并能够在实际应用中灵活运用。

希望这些题目能够帮助你更深入地理解线性规划的对偶理论和灵敏度分析，祝你在学习过程中取得优异的成绩！