【(完整版)层次分析法例题】在实际的决策分析过程中，面对复杂多样的评价指标和目标，如何科学地进行权重分配与方案比较成为了一个关键问题。层次分析法（AHP，Analytic Hierarchy Process）作为一种系统化、定量化的方法，广泛应用于多准则决策分析中。本文将通过一个完整的例题，详细展示层次分析法的应用过程，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
一、层次分析法简介
层次分析法是由美国运筹学家萨蒂（T. L. Saaty）于1970年代提出的一种多准则决策分析工具。它通过将复杂问题分解为多个层次结构，包括目标层、准则层和方案层，然后通过两两比较的方式确定各因素之间的相对重要性，并最终计算出各方案的综合得分，从而实现对不同方案的排序与选择。
二、例题背景
某公司计划引进一项新的生产技术，现有三种备选方案：A、B、C。公司希望通过综合考虑技术先进性、成本效益、实施难度和环保性能四个主要指标，选择最优的技术方案。
三、建立层次结构模型
1. 目标层：选择最优的生产技术方案
2. 准则层：技术先进性、成本效益、实施难度、环保性能
3. 方案层：A、B、C
四、构造判断矩阵并进行一致性检验
1. 构造准则层判断矩阵
根据专家意见，对四个准则进行两两比较，构建判断矩阵如下：
| | 技术先进性 | 成本效益 | 实施难度 | 环保性能 |
|-------|------------|----------|----------|----------|
| 技术先进性 | 1| 1/3| 1/5| 1/2|
| 成本效益 | 3| 1| 1/3| 1|
| 实施难度 | 5| 3| 1| 2|
| 环保性能 | 2| 1| 1/2| 1|
2. 计算各准则的权重
通过计算判断矩阵的最大特征值 λ_max 和对应的特征向量，得到各准则的权重如下：
- 技术先进性：0.12
- 成本效益：0.38
- 实施难度：0.42
- 环保性能：0.08
同时进行一致性检验，CR = 0.05 < 0.1，说明判断矩阵具有满意的一致性。
3. 构造方案层判断矩阵
对于每个准则，分别对三个方案进行两两比较，形成四个判断矩阵。例如，在“技术先进性”准则下，判断矩阵如下：
| | A | B | C |
|-------|-----|-----|-----|
| A | 1 | 1/2 | 1/4 |
| B | 2 | 1 | 1/2 |
| C | 4 | 2 | 1 |
依次计算每个准则下的权重，并得出各方案在不同准则下的得分。
五、计算综合得分
将每个方案在各个准则下的得分乘以该准则的权重，再求和，得到各方案的综合得分：
- 方案A：0.12×0.2 + 0.38×0.4 + 0.42×0.1 + 0.08×0.3 = 0.26
- 方案B：0.12×0.3 + 0.38×0.3 + 0.42×0.2 + 0.08×0.4 = 0.25
- 方案C：0.12×0.5 + 0.38×0.3 + 0.42×0.7 + 0.08×0.3 = 0.49
六、结果分析与结论
从上述计算可以看出，方案C在综合得分上最高，因此被推荐为最优选择。这表明，虽然方案C在技术先进性和环保性能方面表现一般，但在成本效益和实施难度方面具有明显优势，整体上更符合公司的需求。
七、总结
通过本例题可以看出，层次分析法能够有效地将复杂的多目标决策问题结构化、量化，帮助决策者在众多方案中做出科学合理的判断。尽管其依赖于主观判断，但通过一致性检验等手段，可以有效提高结果的可信度与合理性。
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