【完全平方公式提升练习题】在初中数学的学习中，完全平方公式是一个非常重要的知识点，它不仅在代数运算中频繁出现，而且在因式分解、方程求解等方面也具有广泛的应用。掌握好完全平方公式，有助于提高同学们的数学思维能力和计算速度。

本练习题旨在帮助学生进一步巩固和提升对“完全平方公式”的理解与运用能力，通过不同类型的题目，全面考察学生的综合应用水平。

一、基本概念回顾

完全平方公式主要有以下两种形式：

1. 平方和公式：

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

2. 平方差公式：

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

这两个公式是代数运算中的基础工具，熟练掌握后可以简化很多复杂的计算过程。

二、典型例题解析

例题1：展开下列各式

1. $(x + 3)^2$

2. $(2y - 5)^2$

解析：

1. $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

2. $(2y - 5)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25$

例题2：利用公式进行简便计算

1. $99^2$

2. $101^2$

解析：

1. $99^2 = (100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$

2. $101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$

三、提升训练题（难度递增）

题目1：化简表达式

$$

(a + b)^2 + (a - b)^2

$$

提示：分别展开两个平方项，再合并同类项。

题目2：已知 $x + y = 7$，$xy = 12$，求 $x^2 + y^2$ 的值。

提示：利用公式 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

题目3：若 $a + b = 5$，且 $a^2 + b^2 = 17$，求 $ab$ 的值。

提示：利用公式 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，反向推导出 $ab$

题目4：已知 $x^2 + 4x + 4 = 0$，求 $x$ 的值。

提示：观察是否为完全平方式，尝试因式分解或使用求根公式

四、拓展思考题（挑战型）

1. 已知 $a^2 + b^2 = 25$，$ab = 12$，求 $a + b$ 和 $a - b$ 的值。

2. 若 $x^2 + 2x + 1 = 0$，试判断该方程的根的情况，并说明理由。

3. 设 $m = (a + b)^2$，$n = (a - b)^2$，试比较 $m$ 与 $n$ 的大小关系。

五、总结

通过本练习题的训练，希望同学们能够更加灵活地运用完全平方公式，提升自己的代数运算能力。在今后的学习中，遇到类似的问题时，应多从公式出发，结合题目条件，逐步分析，找到最简捷的解题方法。

温馨提示：数学学习贵在坚持与练习，建议每天抽出一定时间复习和巩固基础知识，逐步提升解题技巧与思维深度。