【经典等差数列性质练习题(含答案)-高中课件精选】在高中数学中，等差数列是一个非常重要的知识点，它不仅在数列部分占据核心地位，而且在函数、不等式、数列求和等多个领域都有广泛应用。掌握等差数列的基本性质与解题技巧，是提升数学综合能力的重要途径。
本文精选了一组关于等差数列性质的典型练习题，并附有详细解答，帮助学生深入理解等差数列的定义、通项公式、前n项和公式以及相关性质的应用。
一、基础知识回顾
1. 等差数列的定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
2. 通项公式：
若首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
3. 前 $ n $ 项和公式：
等差数列的前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
4. 等差数列的性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
- 若 $ a, b, c $ 成等差数列，则 $ 2b = a + c $
二、经典练习题及解析
题目1：
已知等差数列的前三项分别为 $ 5, 9, 13 $，求其第10项。
解析：
首项 $ a_1 = 5 $，公差 $ d = 9 - 5 = 4 $
第10项为：
$$
a_{10} = 5 + (10 - 1) \times 4 = 5 + 36 = 41
$$
答案：$ 41 $
题目2：
已知等差数列的第5项为 $ 17 $，第8项为 $ 26 $，求该数列的公差和首项。
解析：
根据通项公式：
$$
a_5 = a_1 + 4d = 17 \\
a_8 = a_1 + 7d = 26
$$
联立两式：
$$
(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 26 - 17 \\
3d = 9 \Rightarrow d = 3
$$
代入第一个方程：
$$
a_1 + 4 \times 3 = 17 \Rightarrow a_1 = 17 - 12 = 5
$$
答案：公差 $ d = 3 $，首项 $ a_1 = 5 $
题目3：
等差数列的前 $ n $ 项和为 $ S_n = 3n^2 + 2n $，求其通项公式。
解析：
由前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = 3n^2 + 2n
$$
通项公式 $ a_n = S_n - S_{n-1} $
计算 $ S_{n-1} $：
$$
S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 2(n-1) = 3(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2 = 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2 = 3n^2 - 4n + 1
$$
因此：
$$
a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - (3n^2 - 4n + 1) = 6n - 1
$$
答案：通项公式为 $ a_n = 6n - 1 $
题目4：
若 $ a_3 + a_7 = 20 $，且 $ a_5 = 10 $，求该等差数列的公差 $ d $。
解析：
根据等差数列的性质：
$$
a_3 + a_7 = 2a_5 = 20 \Rightarrow a_5 = 10
$$
验证题目条件成立，说明公差可由其他信息求出。
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则：
$$
a_5 = a_1 + 4d = 10
$$
但无法唯一确定 $ d $，除非有更多条件。本题仅提供 $ a_5 = 10 $，无法单独求出 $ d $。
结论：题目信息不足，无法求出公差 $ d $。
三、总结
通过以上练习题，我们可以看到等差数列的性质在解题中的重要作用。熟练掌握通项公式、前n项和公式以及等差数列的对称性性质，有助于快速解决相关问题。同时，在实际应用中要注意题目给出的信息是否充分，避免因信息缺失导致误判。
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