【指数-对数运算习题】在数学的学习过程中，指数与对数的运算一直是一个重要的知识点。它们不仅在代数中频繁出现，而且在实际问题的建模和解决中也起着关键作用。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，下面提供一些典型的指数与对数运算练习题，并附有详细解答，帮助理解其背后的逻辑。

一、指数运算基础练习

1. 计算：

$ 2^3 \times 2^4 $

解：

根据指数法则，同底数幂相乘时，指数相加。

$ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 $

2. 化简：

$ (3^2)^5 $

解：

幂的乘方，指数相乘。

$ (3^2)^5 = 3^{2 \times 5} = 3^{10} $

3. 计算：

$ \frac{5^6}{5^2} $

解：

同底数幂相除，指数相减。

$ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 $

二、对数运算基础练习

1. 计算：

$ \log_2 8 $

解：

因为 $ 2^3 = 8 $，所以

$ \log_2 8 = 3 $

2. 计算：

$ \log_{10} 1000 $

解：

因为 $ 10^3 = 1000 $，所以

$ \log_{10} 1000 = 3 $

3. 计算：

$ \ln e^5 $

解：

自然对数 $ \ln $ 与指数 $ e $ 是互为反函数。

$ \ln e^5 = 5 $

三、综合运算练习

1. 已知 $ \log_2 x = 3 $，求 $ x $ 的值。

解：

$ \log_2 x = 3 $ 表示 $ 2^3 = x $，即

$ x = 8 $

2. 已知 $ \log_3 9 = a $，求 $ a $ 的值。

解：

因为 $ 3^2 = 9 $，所以

$ a = 2 $

3. 若 $ \log_5 125 = x $，求 $ x $。

解：

因为 $ 5^3 = 125 $，所以

$ x = 3 $

四、应用型题目

1. 某生物种群数量按指数增长，初始数量为 100，每年增长率为 5%。试求 3 年后该种群的数量。

解：

指数增长公式为：

$ N(t) = N_0 \times (1 + r)^t $

其中，$ N_0 = 100 $，$ r = 0.05 $，$ t = 3 $

$ N(3) = 100 \times (1.05)^3 ≈ 100 \times 1.1576 ≈ 115.76 $

所以，3 年后种群数量约为 116 只。

2. 某物质的衰减遵循指数规律，初始质量为 200 克，半衰期为 10 年。求 30 年后的剩余质量。

解：

半衰期公式为：

$ m(t) = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} $

其中，$ m_0 = 200 $，$ T = 10 $，$ t = 30 $

$ m(30) = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{30/10} = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200 \times \frac{1}{8} = 25 $

所以，30 年后剩余质量为 25 克。

通过以上练习题的训练，可以进一步巩固对指数与对数的理解与运用能力。建议在做题时多结合图像、公式推导以及实际应用背景来加深理解，从而提高数学思维能力和解题技巧。