【指数-对数运算习题】在数学的学习过程中,指数与对数的运算一直是一个重要的知识点。它们不仅在代数中频繁出现,而且在实际问题的建模和解决中也起着关键作用。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容,下面提供一些典型的指数与对数运算练习题,并附有详细解答,帮助理解其背后的逻辑。
一、指数运算基础练习
1. 计算:
$ 2^3 \times 2^4 $
解:
根据指数法则,同底数幂相乘时,指数相加。
$ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 $
2. 化简:
$ (3^2)^5 $
解:
幂的乘方,指数相乘。
$ (3^2)^5 = 3^{2 \times 5} = 3^{10} $
3. 计算:
$ \frac{5^6}{5^2} $
解:
同底数幂相除,指数相减。
$ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 $
二、对数运算基础练习
1. 计算:
$ \log_2 8 $
解:
因为 $ 2^3 = 8 $,所以
$ \log_2 8 = 3 $
2. 计算:
$ \log_{10} 1000 $
解:
因为 $ 10^3 = 1000 $,所以
$ \log_{10} 1000 = 3 $
3. 计算:
$ \ln e^5 $
解:
自然对数 $ \ln $ 与指数 $ e $ 是互为反函数。
$ \ln e^5 = 5 $
三、综合运算练习
1. 已知 $ \log_2 x = 3 $,求 $ x $ 的值。
解:
$ \log_2 x = 3 $ 表示 $ 2^3 = x $,即
$ x = 8 $
2. 已知 $ \log_3 9 = a $,求 $ a $ 的值。
解:
因为 $ 3^2 = 9 $,所以
$ a = 2 $
3. 若 $ \log_5 125 = x $,求 $ x $。
解:
因为 $ 5^3 = 125 $,所以
$ x = 3 $
四、应用型题目
1. 某生物种群数量按指数增长,初始数量为 100,每年增长率为 5%。试求 3 年后该种群的数量。
解:
指数增长公式为:
$ N(t) = N_0 \times (1 + r)^t $
其中,$ N_0 = 100 $,$ r = 0.05 $,$ t = 3 $
$ N(3) = 100 \times (1.05)^3 ≈ 100 \times 1.1576 ≈ 115.76 $
所以,3 年后种群数量约为 116 只。
2. 某物质的衰减遵循指数规律,初始质量为 200 克,半衰期为 10 年。求 30 年后的剩余质量。
解:
半衰期公式为:
$ m(t) = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} $
其中,$ m_0 = 200 $,$ T = 10 $,$ t = 30 $
$ m(30) = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{30/10} = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 200 \times \frac{1}{8} = 25 $
所以,30 年后剩余质量为 25 克。
通过以上练习题的训练,可以进一步巩固对指数与对数的理解与运用能力。建议在做题时多结合图像、公式推导以及实际应用背景来加深理解,从而提高数学思维能力和解题技巧。