【高数(一)全套公式】在大学数学学习中，高等数学（一）是许多理工科专业学生必修的基础课程。它不仅为后续的专业课程打下坚实的数学基础，也培养了学生的逻辑思维能力和抽象分析能力。而在这门课程中，掌握各种数学公式是至关重要的一步。本文将系统整理高数（一）中的核心公式，帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数与极限
1. 函数的基本概念：
函数是两个变量之间的对应关系，记作 $ y = f(x) $，其中 $ x $ 是自变量，$ y $ 是因变量。
2. 极限的定义：
设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某邻域内有定义，若当 $ x \to x_0 $ 时，$ f(x) $ 趋于某个确定的常数 $ A $，则称 $ A $ 为 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的极限，记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
$$
3. 无穷小与无穷大：
- 若 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 $，则称 $ f(x) $ 为无穷小；
- 若 $ \lim_{x \to x_0} |f(x)| = \infty $，则称 $ f(x) $ 为无穷大。
4. 极限运算法则：
设 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则：
- $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B $
- $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $
- $ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $ （$ B \neq 0 $）
5. 重要极限公式：
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e $
二、导数与微分
1. 导数的定义：
函数 $ y = f(x) $ 在 $ x $ 处的导数为：
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
2. 基本求导公式：
- $ (C)' = 0 $（$ C $ 为常数）
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
3. 导数的运算法则：
- $ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- $ (uv)' = u'v + uv' $
- $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
4. 微分公式：
微分 $ dy = f'(x) dx $，即导数乘以自变量的变化量。
三、微分中值定理与导数的应用
1. 罗尔定理：
若函数 $ f(x) $ 满足：
- 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
- 在开区间 $ (a, b) $ 内可导；
- $ f(a) = f(b) $，
则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $。
2. 拉格朗日中值定理：
若函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，则存在 $ \xi \in (a, b) $，使得：
$$
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$
3. 洛必达法则：
当 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ 为 $ \frac{0}{0} $ 或 $ \frac{\infty}{\infty} $ 型不定式时，若 $ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $ 存在，则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
四、不定积分与定积分
1. 不定积分定义：
若 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 的一个原函数，记作：
$$
\int f(x) dx = F(x) + C
$$
2. 基本积分公式：
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
3. 定积分定义：
若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^) \Delta x
$$
4. 牛顿-莱布尼兹公式：
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
五、微分方程初步
1. 一阶线性微分方程：
形如 $ y' + P(x)y = Q(x) $，其通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ 是积分因子。
2. 可分离变量的微分方程：
形如 $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $，可化为：
$$
\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx
$$
两边积分即可求解。
结语
高数（一）作为一门基础数学课程，虽然内容繁多、公式复杂，但只要掌握好基本概念和常用公式，并结合实际练习，就能逐步提高自己的数学素养。希望本文能为你的学习提供参考和帮助，祝你在高数的学习道路上越走越远！
