【超几何分布的期望与方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样中，成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中进行抽样的场景，如质量检测、抽奖活动等。本文将总结超几何分布的期望与方差公式，并以表格形式清晰展示。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布适用于以下情况：
- 总体中有 $ N $ 个个体；
- 其中 $ K $ 个个体具有某种特征（称为“成功”）；
- 从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回）；
- 设 $ X $ 表示这 $ n $ 个个体中具有该特征的数量，则 $ X $ 服从超几何分布，记作 $ X \sim H(N, K, n) $。
二、超几何分布的期望与方差公式
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 抽取样本中预期的成功数量 |
| 方差 | $ Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 反映数据波动程度，考虑有限总体的修正因子 |
三、公式的理解与应用
1. 期望公式的意义
超几何分布的期望可以看作是每次抽样成功的概率 $ \frac{K}{N} $ 乘以抽样次数 $ n $。这类似于二项分布的期望，但因为是不放回抽样，因此期望公式中没有修正因子。
2. 方差公式的特点
超几何分布的方差比二项分布的方差小，这是因为不放回抽样减少了样本之间的独立性，从而降低了变异性。公式中的修正因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 称为“有限总体校正因子”。
3. 应用场景
超几何分布常用于实际问题中，如：
- 检验产品质量时，判断合格品数量；
- 抽奖活动中计算中奖概率；
- 生物学实验中分析基因频率等。
四、总结
超几何分布是处理有限总体不放回抽样问题的重要工具，其期望和方差公式能够帮助我们更好地理解和预测样本中成功事件的分布情况。通过合理应用这些公式，可以在实际问题中做出更准确的统计推断。
参考文献：
- 《概率论与数理统计》（第三版），浙江大学出版社
- 《统计学原理》，中国人民大学出版社
