【初中三角函数的和差化积公式】在初中阶段，学生开始接触三角函数的基本概念，如正弦、余弦、正切等。随着学习的深入，会接触到一些常见的三角恒等变换公式，其中“和差化积”是重要的内容之一。这些公式可以帮助我们将两个角的和或差转换为乘积形式，便于简化计算和解决实际问题。
一、和差化积公式的总结
以下是一些常见的初中阶段可以掌握的和差化积公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 将两个正弦函数的和转化为乘积形式 |
| 正弦差化积 | $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 将两个正弦函数的差转化为乘积形式 |
| 余弦和化积 | $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 将两个余弦函数的和转化为乘积形式 |
| 余弦差化积 | $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 将两个余弦函数的差转化为乘积形式 |
二、应用举例
1. 例题1： 计算 $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$
使用公式：$\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
代入 $A=75^\circ$，$B=15^\circ$：
$$
\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin\left(\frac{75+15}{2}\right)\cos\left(\frac{75-15}{2}\right) = 2\sin 45^\circ \cos 30^\circ
$$
2. 例题2： 化简 $\cos 60^\circ - \cos 30^\circ$
使用公式：$\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
代入 $A=60^\circ$，$B=30^\circ$：
$$
\cos 60^\circ - \cos 30^\circ = -2\sin\left(\frac{60+30}{2}\right)\sin\left(\frac{60-30}{2}\right) = -2\sin 45^\circ \sin 15^\circ
$$
三、学习建议
1. 理解公式来源：虽然初中阶段不强调推导过程，但了解公式的由来有助于记忆。
2. 多做练习题：通过反复练习，熟练掌握公式的使用方法。
3. 结合图形理解：利用单位圆和三角函数图像辅助理解公式的几何意义。
通过掌握这些基本的和差化积公式，同学们可以在解题过程中更灵活地处理三角函数的问题，提升数学思维能力和运算效率。
