【向量垂直坐标公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是常见的问题之一。通过向量的坐标形式，可以快速判断它们之间的关系。本文将总结向量垂直的坐标公式，并以表格形式进行归纳，便于理解和应用。
一、向量垂直的基本概念
在二维或三维空间中，若两个向量的夹角为90度，则称这两个向量垂直（或正交）。根据向量的点积性质，若两个向量的点积为零，则它们垂直。
二、向量垂直的坐标公式
设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则它们垂直的条件为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 0
$$
对于三维空间中的向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，垂直条件为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0
$$
三、常见情况总结
| 向量维度 | 向量表示 | 垂直条件公式 |
| 二维 | $\vec{a} = (x_1, y_1)$ $\vec{b} = (x_2, y_2)$ | $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ |
| 三维 | $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$ | $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$ |
四、实际应用举例
例1：
已知 $\vec{a} = (2, -3)$，$\vec{b} = (6, 4)$，判断是否垂直。
计算点积：
$2 \times 6 + (-3) \times 4 = 12 - 12 = 0$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
例2：
已知 $\vec{a} = (1, 2, -1)$，$\vec{b} = (3, -1, 1)$，判断是否垂直。
计算点积：
$1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
五、注意事项
- 点积为零是向量垂直的充要条件；
- 若向量为零向量（即所有分量均为0），则它与任何向量都垂直；
- 在几何问题中，利用该公式可快速判断图形是否具有直角关系。
通过掌握向量垂直的坐标公式，可以在解析几何、物理运动分析、工程计算等多个领域中高效地解决问题。希望本文能帮助你更好地理解这一重要知识点。
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