【常用不定积分公式】在微积分的学习过程中，不定积分是一个重要的基础内容。它不仅用于求解函数的原函数，还广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常用的不定积分公式，有助于提高解题效率和理解数学本质。以下是对一些常见不定积分公式的总结与整理。
一、基本初等函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
二、代数函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
三、三角函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ |
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ |
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ |
| $ \tan^2 x $ | $ \tan x - x + C $ |
四、反三角函数的不定积分
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \arccos x $ | $ x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \arctan x $ | $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、其他常见积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x(a x + b)} $ | $ \frac{1}{b} \ln\left | \frac{x}{a x + b}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{(ax + b)^n} $ | $ \frac{(ax + b)^{n-1}}{a(n-1)} + C $（$ n \neq 1 $） | ||
| $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
总结
以上列出的是在学习和应用中较为常见的不定积分公式，涵盖了多项式、指数、对数、三角函数以及部分代数函数的积分形式。这些公式是解决复杂积分问题的基础工具，建议在实际应用中结合分部积分、换元积分等方法灵活使用。
掌握这些公式不仅可以提升计算效率，也有助于深入理解积分的本质和应用价值。
以上就是【常用不定积分公式】相关内容，希望对您有所帮助。
