二次函数的应用题（含答案）

在数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点。它不仅在理论学习中占据重要地位，而且在实际生活中的应用也非常广泛。本文将通过几个具体的例子来展示如何利用二次函数解决实际问题，并附上详细的解答过程。

例题1：抛物线轨迹问题

假设一个篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可以用二次函数 \(y = -0.05x^2 + 0.8x + 2\) 来表示，其中 \(x\) 表示水平距离（单位：米），\(y\) 表示篮球的高度（单位：米）。求篮球达到的最大高度以及对应的水平距离。

解答：

二次函数的标准形式是 \(y = ax^2 + bx + c\)。根据公式，顶点的横坐标 \(x\) 可以通过 \(-\frac{b}{2a}\) 计算得出：

\[ x = -\frac{0.8}{2 \times (-0.05)} = 8 \]

将 \(x = 8\) 代入原方程求得最大高度：

\[ y = -0.05(8)^2 + 0.8(8) + 2 = -3.2 + 6.4 + 2 = 5.2 \]

因此，篮球达到的最大高度为 5.2 米，对应的水平距离为 8 米。

例题2：利润最大化问题

某公司生产一种产品，其成本函数为 \(C(x) = 2x^2 + 5x + 100\)，销售价格为每件 50 元。问该公司生产多少件产品时，可以获得最大利润？

解答：

利润函数 \(P(x)\) 可以表示为收入减去成本：

\[ P(x) = 50x - (2x^2 + 5x + 100) = -2x^2 + 45x - 100 \]

同样使用顶点公式计算 \(x\) 的值：

\[ x = -\frac{45}{2 \times (-2)} = 11.25 \]

由于生产数量必须是整数，分别计算 \(x = 11\) 和 \(x = 12\) 时的利润：

- 当 \(x = 11\) 时，利润 \(P(11) = -2(11)^2 + 45(11) - 100 = 143\)

- 当 \(x = 12\) 时，利润 \(P(12) = -2(12)^2 + 45(12) - 100 = 148\)

因此，当生产 12 件产品时，可以获得最大利润 148 元。

通过以上两个例子可以看出，二次函数在解决实际问题时具有很强的实用性。希望这些例子能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的应用。