统计学是一门研究数据收集、分析、解释和呈现的科学，它在科学研究、商业决策和社会管理中发挥着至关重要的作用。为了帮助大家更好地理解和应用统计学知识，以下整理了一份全面的统计学公式大全。
基础概念与公式
1. 数据集中趋势
- 算术平均数
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
\]
其中，\(x_i\) 表示数据点，\(n\) 表示数据个数。
- 中位数
将数据按大小排序后，位于中间位置的数值。
- 众数
出现频率最高的数值。
2. 数据离散程度
- 方差
\[
\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
\]
- 标准差
\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}
\]
- 极差
最大值减去最小值。
3. 概率与分布
- 概率密度函数（PDF）
对于连续随机变量 \(X\)，其 PDF 记为 \(f(x)\)，满足：
\[
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx
\]
- 正态分布
均值为 \(\mu\)，标准差为 \(\sigma\) 的正态分布公式为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
假设检验与回归分析
1. 假设检验
- t 检验
测试样本均值是否与总体均值显著不同：
\[
t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}
\]
- 卡方检验
测试实际频数与期望频数之间的差异：
\[
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\]
2. 回归分析
- 简单线性回归模型
\[
y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon
\]
其中，\(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 分别为截距和斜率。
- 决定系数 \(R^2\)
衡量模型拟合优度：
\[
R^2 = 1 - \frac{\text{残差平方和}}{\text{总平方和}}
\]
高级统计方法
1. 方差分析（ANOVA）
- 单因素方差分析
测试多个组间均值是否存在显著差异：
\[
F = \frac{\text{组间方差}}{\text{组内方差}}
\]
2. 时间序列分析
- 自相关函数（ACF）
衡量时间序列中滞后值的相关性：
\[
ACF(k) = \frac{\sum (x_t - \bar{x})(x_{t-k} - \bar{x})}{\sum (x_t - \bar{x})^2}
\]
总结
以上公式涵盖了统计学的核心内容，从基础的描述性统计到复杂的假设检验和回归分析。掌握这些公式不仅能够帮助我们更高效地处理数据，还能提升我们在实际问题中的分析能力。希望这份统计学公式大全能成为你学习和工作的得力助手！
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