【等差等比数列基本公式】在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种类型，它们在数列问题、数学建模以及实际应用中都有广泛的应用。本文将对等差数列和等比数列的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都为常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
基本公式：
1. 通项公式：
第 $ n $ 项 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $
其中 $ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差。
2. 求和公式：
前 $ n $ 项和 $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比都为常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。
基本公式：
1. 通项公式：
第 $ n $ 项 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
其中 $ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
2. 求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，前 $ n $ 项和 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $
当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，和为 $ S_n = n \cdot a_1 $
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项之差为常数 | 每项与前一项之比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ a_n - a_{n-1} = d $ | $ \frac{a_n}{a_{n-1}} = r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 中间项性质 | $ a_m + a_n = a_p + a_q $（若 $ m+n=p+q $） | $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $（若 $ m+n=p+q $） |
四、小结
等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，掌握其基本公式对于解决实际问题、数学分析以及后续更复杂的数列问题具有重要意义。理解两者的区别与联系，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用。
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